将函数 $y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2$（$x \in [0, 6]$）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta$（$0 \leqslant \theta \leqslant \alpha$），得到曲线 $C$. 若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为______.