已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$（$d \neq 0$），等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q$（$q > 1$）. 设 $S_{n} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}$，$T_{n} = a_{1}b_{1} - a_{2}b_{2} + \cdots + (-1)^{n - 1}a_{n}b_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 若 $a_1 = b_1 = 1$，$d = 2$，$q = 3$，求 $S_3$ 的值. (2) 若 $b_{1} = 1$，证明 $(1 - q)S_{2n} - (1 + q)T_{2n} = \frac{2dq(1 - q^{2n})}{1 - q^{2}}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$. (3) 若正整数 $n$ 满足 $2 \leqslant n \leqslant q$，设 $k_{1}$，$k_{2}$，$\cdots$，$k_{n}$ 和 $l_{1}$，$l_{2}$，$\cdots$，$l_{n}$ 是 $1$，$2$，$\cdots$，$n$ 的两个不同的排列，$c_{1} = a_{k_1} b_1 + a_{k_2} b_2 + \cdots + a_{k_n} b_n$，$c_{2} = a_{l_1} b_1 + a_{l_2} b_2 + \cdots + a_{l_n} b_n$，证明 $c_{1} \neq c_{2}$.