如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$. 已知点 $(1,e)$ 和 $\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设 $A$，$B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $AF_{1}$ 与直线 $BF_{2}$ 平行，$AF_{2}$ 与 $BF_{1}$ 交于点 $P$.

(i) 若 $AF_{1}-BF_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $AF_{1}$ 的斜率； (ii) 求证：$PF_{1}+PF_{2}$ 是定值.