若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极大值或极小值，则称 $x_{0}$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点. 已知 $a$，$b$ 是实数，且 $1$ 和 $-1$ 是函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 的两个极值点.

(1) 求 $a$ 和 $b$ 的值； (2) 设函数 $g(x)$ 的导函数 $g'(x)=f(x)+2$，求 $g(x)$ 的极值点； (3) 设 $h(x)=f(f(x))-c$，其中 $c\in[-2,2]$，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数.