已知各项均为正数的两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 设 $b_{n+1} = 1 + \frac{b_n}{a_n}$，$n \in \mathbf{N}^*$，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2\right\}$ 是等差数列； (2) 设 $b_{n+1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_n}{a_n}$，$n \in \mathbf{N}^*$，且 $\{a_n\}$ 是等比数列，求 $a_1$ 和 $b_1$ 的值.