各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$，$a_{1} = a$，$a_{2} = b$，且对满足 $m + n = p + q$ 的正整数 $m$，$n$，$p$，$q$ 都有 $\frac{a_{m} + a_{n}}{(1 + a_{m})(1 + a_{n})} = \frac{a_{p} + a_{q}}{(1 + a_{p})(1 + a_{q})}$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$； (2) 证明：对任意 $a$，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$，使得对于每个正整数 $n$，都有 $\frac{1}{\lambda} \leqslant a_n \leqslant \lambda$.