设椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），曲线 $C_2$ 的方程为 $y = \frac{1}{x}$，且 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限内只有一个公共点 $P$.

(1) 试用 $a$ 表示点 $P$ 的坐标； (2) 设 $A$，$B$ 是椭圆 $C_1$ 的两个焦点，当 $a$ 变化时，求 $\triangle ABP$ 的面积函数 $S(a)$ 的值域； (3) 记 $\min\{y_1, y_2, \cdots, y_n\}$ 为 $y_1$，$y_2$，$\cdots$，$y_n$ 中最小的一个. 设 $g(a)$ 是以椭圆 $C_1$ 的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数 $f(a) = \min\{g(a), S(a)\}$ 的表达式.