已知数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$. 设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$，均有 $S_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“$\lambda\sim k$”数列.

(1) 若等差数列 $\{a_n\}$ 是“$\lambda\sim1$”数列，求 $\lambda$ 的值； (2) 若数列 $\{a_n\}$ 是“$\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2$”数列，且 $a_n>0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (3) 对于给定的 $\lambda$，是否存在三个不同的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda\sim3$”数列，且 $a_n\ge0$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.