如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点 $F_1$，$F_2$ 为顶点的三角形的周长为 $4(\sqrt{2} + 1)$. 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点. 设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $PF_1$ 和 $PF_2$ 与椭圆的交点分别为 $A$，$B$ 和 $C$，$D$.

(1) 求椭圆和双曲线的标准方程； (2) 设直线 $PF_{1}$，$PF_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$，证明：$k_{1} \cdot k_{2} = 1$； (3) 是否存在常数 $\lambda$，使得 $|AB| + |CD| = \lambda |AB| \cdot |CD|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.