已知 $f(x)=ax-(\ln x)^2$.

(1) 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 当 $f(x)$ 有三个零点 $x_1<x_2<x_3$ 时，

(i) 求 $a$ 的取值范围； (ii) 证明 $(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$.