已知集合 $S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}$ （$n \geqslant 2$），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$，$B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)$； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$.

(1) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，有 $A - B \in S_n$，且 $d(A - C, B - C) = d(A, B)$； (2) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，$d(A, B)$，$d(A, C)$，$d(B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 $P \subseteq S_n$，$P$ 中有 $m$（$m \geqslant 2$） 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{d}(P)$. 证明： $\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}$.