如图，设抛物线方程为 $x^{2} = 2py$（$p > 0$），$M$ 为直线 $y = -2p$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A$，$B$.

(1) 求证：$A$，$M$，$B$ 三点的横坐标成等差数列； (2) 已知当 $M$ 点的坐标为 $(2, -2p)$ 时，$|AB| = 4\sqrt{10}$，求此时抛物线的方程； (3) 是否存在点 $M$，使得点 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $D$ 在抛物线 $x^2 = 2py$（$p > 0$）上，其中，点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$（$O$ 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.