在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes$： $p \otimes q = -\frac{1}{3}(p - c)(q - b) + 4bc$（$p$，$q$ 为实常数）. 记 $f_1(x) = x^{2} - 2c$，$f_2(x) = x - 2b$，$x \in \mathbf{R}$. 令 $f(x) = f_1(x) \otimes f_2(x)$.

(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$，试确定 $b$，$c$ 的值； (2) 求曲线 $y = f(x)$ 上斜率为 $c$ 的切线与该曲线的公共点； (3) 记 $g(x) = |f'(x)|$（$-1 \leqslant x \leqslant 1$）的最大值为 $M$. 若 $M \geqslant k$ 对任意的 $b$，$c$ 恒成立，试求 $k$ 的最大值.