在平面直角坐标系中，已知曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$（$y\ge0$），点 $P$，$Q$ 分别为 $\Gamma$ 上不同的两点，$T(t,0)$.

(1) 求 $\Gamma$ 所在椭圆的离心率； (2) 若 $T(1,0)$，$Q$ 在 $y$ 轴上，且 $T$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt5}{5}$，求 $P$ 的坐标； (3) 是否存在 $t$，使得 $\triangle TPQ$ 是以 $T$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 $t$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.