设 $A$，$B$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左，右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 $x = 4$ 为它的右准线.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设 $P$ 为右准线上不同于点 $(4,0)$ 的任意一点. 若直线 $AP$，$BP$ 分别与椭圆相交于异于 $A$，$B$ 的点 $M$，$N$，证明点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内.