已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}$（$k \geqslant 2$），其中 $a_{i} \in \mathbf{Z}$（$i = 1$，$2$，$\cdots$，$k$）. 由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：$S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}$；$T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}$，其中 $(a, b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$. 若对于任意的 $a \in A$，总有 $-a \notin A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$.

(1) 检验集合 $\{0, 1, 2, 3\}$ 与 $\{-1, 2, 3\}$ 是否具有性质 $P$，并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$. (2) 对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$，证明：$n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}$. (3) 判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论.