已知函数 $f(x) = \ln x - ax^2 + (2 - a)x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 设 $a > 0$，证明：当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时，$f\left(\frac{1}{a} + x\right) > f\left(\frac{1}{a} - x\right)$； (3) 若函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 中点的横坐标为 $x_0$，证明：$f'(x_0) < 0$.

如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$，长轴左，右端点 $M$，$N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$，且 $C_1$，$C_2$ 的离心率都为 $e$. 直线 $l \perp MN$，$l$ 与 $C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$.

(1) 设 $e = \frac{1}{2}$，求 $|BC|$ 与 $|AD|$ 的比值. (2) 当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$，使得 $BO \parallel AN$，并说明理由.