设椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$F_1(-\sqrt2,0)$，$F_2(\sqrt2,0)$ 为 $\Gamma$ 的焦点，$A$ 为 $\Gamma$ 的下顶点，$M$ 为直线 $l:x+y-4\sqrt2=0$ 上一点.

(1) 若 $a=2$，且 $AM$ 的中点在 $x$ 轴上，求点 $M$ 的坐标； (2) 若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $B$，直线 $AM$ 经过点 $F_2$，且在 $\triangle ABM$ 中有一内角的余弦值为 $\frac35$，求 $b$ 的值； (3) 若 $\Gamma$ 上一点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$，且 $|PF_1|+|PF_2|+d=6$，求 $d$ 的最小值.

在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=3$，对任意 $n\in\mathbf{N}^*$ 且 $n\ge2$，均存在正整数 $i\in[1,n-1]$，满足 $a_{n+1}=2a_n-a_i$.

(1) 求 $a_4$ 所有可能的值； (2) 命题 $p$：若 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_8$ 成等差数列，则 $a_9<30$，证明 $p$ 是真命题，同时写出 $p$ 的逆命题 $q$，并判断命题 $q$ 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 $a_{2m}=3^m$（$m\in\mathbf{N}^*$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.