设椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$F_1(-\sqrt2,0)$，$F_2(\sqrt2,0)$ 为 $\Gamma$ 的焦点，$A$ 为 $\Gamma$ 的下顶点，$M$ 为直线 $l:x+y-4\sqrt2=0$ 上一点.

(1) 若 $a=2$，且 $AM$ 的中点在 $x$ 轴上，求点 $M$ 的坐标； (2) 若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $B$，直线 $AM$ 经过点 $F_2$，且在 $\triangle ABM$ 中有一内角的余弦值为 $\frac35$，求 $b$ 的值； (3) 若 $\Gamma$ 上一点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$，且 $|PF_1|+|PF_2|+d=6$，求 $d$ 的最小值.