设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）过点 $M(\sqrt{2}, 1)$. 且左焦点为 $F_1(-\sqrt{2}, 0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 当过点 $P(4,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两不同点 $A$，$B$ 时，在线段 $AB$ 上取点 $Q$，满足 $\left|\overrightarrow{AP}\right| \cdot \left|\overrightarrow{QB}\right| = \left|\overrightarrow{AQ}\right| \cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|$，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.