设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_0 = 0$，$a_{n+1} = c a_n^3 + 1 - c$，$n \in \mathbf{N}^*$，其中 $c$ 为实数.

(1) 证明：$a_{n} \in [0,1]$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$ 成立的充分必要条件是 $c \in [0,1]$； (2) 设 $0 < c < \frac{1}{3}$. 证明：$a_{n} \geqslant 1 - (3c)^{n-1}$，$n \in \mathbf{N}^*$； (3) 设 $0 < c < \frac{1}{3}$. 证明：$a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 > n + 1 - \frac{2}{1 - 3c}$，$n \in \mathbf{N}^*$.