已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数.

(1) 证明： $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数； (2) 若关于 $x$ 的不等式 $m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； (3) 已知正数 $a$ 满足：存在 $x_0 \in [1, +\infty)$，使得 $f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0)$ 成立. 试比较 $\mathrm{e}^{a - 1}$ 与 $a^{\mathrm{e} - 1}$ 的大小，并证明你的结论.