设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n} = a_{m}$，则称 $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”.

(1) 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}$（$n\in \mathbf{N}^{*}$），证明： $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”； (2) 设$\{a_{n}\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1} = 1$，公差 $d < 0$. 若 $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”，求 $d$ 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 $\{a_{n}\}$，总存在两个“$H$ 数列” $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）成立.