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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
f(x) = \ln(1 + x) - x
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
，
g
(
x
)
=
x
ln
x
g(x) = x \ln x
g
(
x
)
=
x
ln
x
.
(1) 求函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值； (2) 设
0
<
a
<
b
0 < a < b
0
<
a
<
b
，证明：
0
<
g
(
a
)
+
g
(
b
)
−
2
g
(
a
+
b
2
)
<
(
b
−
a
)
ln
2
0 < g(a) + g(b) - 2g\left(\frac{a + b}{2}\right) < (b - a)\ln 2
0
<
g
(
a
)
+
g
(
b
)
−
2
g
(
2
a
+
b
)
<
(
b
−
a
)
ln
2
.
2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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