已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1$，其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值； (2) 若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，求 a 的取值范围.