双曲线的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，过双曲线右焦点且斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线交双曲线于 $P$，$Q$ 两点，若 $OP\perp OQ$，$|PQ|=4$，求双曲线的方程.

\begin{solution} 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>0$、$b>0$，焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 令 $m=\sqrt{\frac35}$，右焦点为 $(c,0)$，所给直线为 $y=m(x-c)$. 设它与双曲线的两个交点的横坐标为 $x_1$，$x_2$，代入双曲线方程并整理，得 若 $5b^2-3a^2=0$，直线与双曲线的一条渐近线平行，不能有两个交点，故 $5b^2-3a^2\ne0$. 由根与系数的关系，记 $S=x_1+x_2$、$T=x_1x_2$，则 $S=-\frac{6a^2c}{5b^2-3a^2}$，$T=-\frac{a^2(3c^2+5b^2)}{5b^2-3a^2}$.

交点坐标为 $P=(x_1,m(x_1-c))$、$Q=(x_2,m(x_2-c))$. 由 $OP\perp OQ$，得 即 $8T-3cS+3c^2=0$. 代入 $S$，$T$ 得 再用 $c^2=a^2+b^2$ 化简为 $3b^4-8a^2b^2-3a^4=0$，即 $(3b^2+a^2)(b^2-3a^2)=0$. 因为 $a$，$b>0$，所以 $b^2=3a^2$，从而 $c=2a$.

此时由上面的根与系数关系得 $S=-a$、$T=-\frac{9a^2}{4}$，故 $(x_2-x_1)^2=S^2-4T=10a^2$. 又因两点在斜率为 $m$ 的直线上，$|PQ|^2=(1+m^2)(x_2-x_1)^2=\frac85\cdot10a^2=16a^2$. 由 $|PQ|=4$，得 $a^2=1$，于是 $b^2=3$. 所求双曲线方程为 $\boxed{x^2-\frac{y^2}{3}=1}$. \end{solution}