在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 0$，且对任意 $k \in \mathbf{N}^*$，$a_{2k-1}$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$.

(1) 若 $d_{k} = 2k$，证明 $a_{2k}$，$a_{2k+1}$，$a_{2k+2}$ 成等比数列（$k \in \mathbf{N}^*$）； (2) 若对任意 $k \in \mathbf{N}^*$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$，$a_{2k+2}$ 成等比数列，其公比为 $q_k$.

(i) 设 $q_{1} \neq 1$. 证明 $\left\{\frac{1}{q_{k}-1}\right\}$ 是等差数列； (ii) 若 $a_2 = 2$，证明 $\frac{3}{2} < 2n - \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2}{a_k} \leqslant 2$（$n \geqslant 2$）.