已知函数 $f(x) = \pi (x - \cos x) - 2\sin x - 2$，$g(x) = (x - \pi)\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2x}{\pi} - 1$.

(1) 证明：存在唯一 $x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，使 $f(x_0) = 0$； (2) 证明：存在唯一 $x_1 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，使 $g(x_1) = 0$，且对上一问中的 $x_0$，有 $x_0 + x_1 > \pi$.