自然状态下的鱼类是一种可再生资源. 为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 $x_{n}$ 表示某鱼群在第 $n$ 年年初的总量，$n \in \mathbf{N}^{*}$，且 $x_{1} > 0$. 不考虑其它因素，设在第 $n$ 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 $x_{n}$ 成正比，死亡量与 $x_{n}^{2}$ 成正比，这些比例系数依次为正常数 $a$，$b$，$c$.

(1) 求 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的关系式； (2) 猜测：当且仅当 $x_{1}$，$a$，$b$，$c$ 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） (3) 设 $a = 2$，$b = 1$，为保证对任意 $x_{1} \in (0,2)$，都有 $x_n > 0$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，则捕捞强度 $b$ 的最大允许值是多少？证明你的结论.

\begin{solution} 题面第三问同时写出“$a=2$，$b=1$”并要求求捕捞强度 $b$ 的最大允许值，按字面理解时 $b$ 已被固定，因而不存在待求的最大值. 以下先给出前两问的结论，并在第三问中说明与“求 $b$ 的最大值”相容的通常解释.

\begin{enumerate} \item 第 $n$ 年内鱼群的繁殖量、捕捞量和死亡量分别为 $ax_n$、$bx_n$ 和 $cx_n^{2}$，所以

\item 若每年年初鱼群总量保持不变，则 $x_{n+1}=x_n=x_1$. 由上式和 $x_1>0$，应满足

即 $a-b-cx_1=0$. 因为 $c>0$ 且 $x_1>0$，这等价于 $a>b$ 且 $x_1=\dfrac{a-b}{c}$.

\item 若严格保留题面中已给出的 $b=1$，则捕捞强度已确定为 $1$，第三问没有关于 $b$ 的最大值问题. 若按题意将该题理解为已给 $a=2$、$c=1$，而把 $b$ 作为待求的捕捞强度，则递推式为

为使任意 $x_1\in(0,2)$ 都有 $x_2>0$，必须对任意 $x_1\in(0,2)$ 有 $3-b-x_1>0$. 若 $b>1$，可取 $x_1\in(\max\{3-b,0\},2)$，则 $3-b-x_1<0$，从而 $x_2<0$，不符合要求. 因此必有 $b\leqslant1$.

当 $b=1$ 时，递推式为 $x_{n+1}=x_n(2-x_n)$. 用数学归纳法证明 $0<x_n<2$. 当 $n=1$ 时结论由条件成立. 假设 $0<x_k<2$，则

并且 $x_{k+1}=1-(x_k-1)^2\leqslant1<2$，所以 $0<x_{k+1}<2$. 归纳可得任意 $n\in\mathbf{N}^{*}$ 都有 $x_n>0$. 因此在这一相容解释下，捕捞强度 $b$ 的最大允许值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = \ln x$，$g(x) = \frac{1}{2} ax^2 + bx$，$a \neq 0$.

(1) 若 $b = 2$，且 $h(x) = f(x) - g(x)$ 存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围； (2) 设函数 $f(x)$ 的图象 $C_1$ 与函数 $g(x)$ 图象 $C_2$ 交于点 $P$，$Q$，过线段 $PQ$ 的中点作 $x$ 轴的垂线分别交 $C_1$，$C_2$ 于点 $M$，$N$，证明 $C_1$ 在点 $M$ 处的切线与 $C_2$ 在点 $N$ 处的切线不平行.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $b=2$ 时，$h(x)=\ln x-\dfrac{a}{2}x^{2}-2x$，定义域为 $(0,+\infty)$，且

若 $a>0$，则当 $x$ 足够大时 $1-2x-ax^{2}<0$，所以存在单调递减区间. 若 $a<0$，令 $a=-k$，其中 $k>0$，则

要使 $h'(x)<0$ 在某个区间成立，二次式 $kx^{2}-2x+1$ 必须在正数范围内取负值. 其判别式为 $4-4k$，故必须有 $0<k<1$，即 $-1<a<0$. 当 $a=-1$ 时，$1-2x+x^{2}=(x-1)^{2}\geqslant0$；当 $a<-1$ 时，二次式恒为正，均不存在单调递减区间. 结合题设 $a\neq0$，得 $a$ 的取值范围为 $(-1,0)\cup(0,+\infty)$.

\item 设点 $P$、$Q$ 的横坐标分别为 $x_1$、$x_2$，不妨设 $x_2>x_1$. 因为 $P$、$Q$ 在两函数图象的交点上，所以 $x_1>0$、$x_2>0$，且

$\ln x_1=\frac{a}{2}x_1^{2}+bx_1$，$\ln x_2=\frac{a}{2}x_2^{2}+bx_2$.

令 $m=\dfrac{x_1+x_2}{2}$，$d=\dfrac{x_2-x_1}{2}$，则 $0<d<m$，且过 $PQ$ 中点的垂线为 $x=m$. 因而 $M$、$N$ 处两条切线的斜率分别为

$k_1=\frac{1}{m}$，$k_2=am+b$.

假设两条切线平行，则 $am+b=\dfrac{1}{m}$. 将交点处两个等式相减，得到

代入 $x_1=m-d$、$x_2=m+d$ 和上述平行条件，得

令 $t=\dfrac{d}{m}$，则 $0<t<1$，上式化为 $\ln\dfrac{1+t}{1-t}=2t$. 但令 $\varphi(t)=\ln\dfrac{1+t}{1-t}-2t$，有 $\varphi(0)=0$，且

$\varphi'(t)=\frac{2}{1-t^{2}}-2=\frac{2t^{2}}{1-t^{2}}>0$，（$0<t<1$）.

所以 $\varphi(t)>0$，不可能有 $\varphi(t)=0$. 矛盾. 因此 $k_1\neq k_2$，即 $C_1$ 在 $M$ 处的切线与 $C_2$ 在 $N$ 处的切线不平行. \end{enumerate} \end{solution}