在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l: ax + by + c = 0$ 和点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$，$P_{2}(x_{2}, y_{2})$，记 $\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c)$. 若 $\eta < 0$，则称点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1) 求证：点 $A(1,2)$，$B(-1,0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔； (2) 若直线 $y = kx$ 是曲线 $x^2 - 4y^2 = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； (3) 动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分隔线.