已知双曲线 $\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，点 $P(x_1, y_1)$，$Q(x_1, -y_1)$ 是双曲线上不同的两个动点.

(1) 求直线 $A_{1}P$ 与 $A_{2}Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程； (2) 若过点 $H(0, h)$（$h > 1$）的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_{1} \perp l_{2}$，求 $h$ 的值.

设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点. 现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的一种折线距离 $\rho(A,B)$ 为 $\rho(A,B) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. 对于平面 $xOy$ 上给定的不同两点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$.

(1) 若点 $C(x, y)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $\rho(A,C) + \rho(C,B) \geqslant \rho(A,B)$； (2) 在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C(x, y)$，同时满足

① $\rho(A,C) + \rho(C,B) = \rho(A,B)$； ② $\rho(A,C) = \rho(C,B)$.

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.