已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的上顶点为 $B$，左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求直线 $BF$ 的斜率； (2) 设直线 $BF$ 与椭圆交于点 $P$（$P$ 异于点 $B$），过点 $B$ 且垂直于 $BP$ 的直线与椭圆交于点 $Q$（$Q$ 异于点 $B$），直线 $PQ$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，$|PM| = \lambda |MQ|$.

(i) 求 $\lambda$ 的值； (ii) 若 $|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}$，求椭圆的方程.