已知函数 $f(x) = 4x - x^4$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g(x)$. 求证：对于任意的实数 $x$，都有 $f(x) \leqslant g(x)$； (3) 若方程 $f(x) = a$ （$a$ 为实数） 有两个正实数根 $x_1$，$x_2$，且 $x_1 < x_2$，求证：$x_2 - x_1 \leqslant -\frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$.