已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$\ 0 < \varphi < \pi$）的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象.

(1) 求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式； (2) 是否存在 $x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f(x_0)$，$g(x_0)$，$f(x_0)g(x_0)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_0$ 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x) = f(x) + a g(x)$ 在 $(0, n\pi)$ 内恰有 $2013$ 个零点.