已知二次函数 $y = g(x)$ 的导函数的图象与直线 $y = 2x$ 平行，且 $y = g(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极小值 $m - 1$（$m \neq 0$）. 设 $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0, 2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值； (2) $k$（$k \in \mathbf{R}$）如何取值时，函数 $y = f(x) - kx$ 存在零点，并求出零点.

已知曲线 $C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n > 0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n, y_n)$.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式； (2) 证明：$x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}$.