已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e$. 直线 $l: y = ex + a$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，$M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点，设 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(1) 证明： $\lambda = 1 - e^{2}$； (2) 若 $\lambda = \frac{3}{4}$，$\triangle PF_{1}F_{2}$ 的周长为 $6$；写出椭圆 $C$ 的方程； (3) 确定 $\lambda$ 的值，使得 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是等腰三角形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记椭圆的焦半距为 $c$. 由离心率定义，$c=ae$，且 $b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$，$0<e<1$. 直线 $l$ 与坐标轴的交点为 $A\left(-\frac{a}{e},0\right)$，$B(0,a)$. 由 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，得 将点 $M$ 代入椭圆方程，得 两边乘以 $e^2(1-e^2)$，整理得 即 所以

\item 当 $\lambda=\frac34$ 时，$e^2=\frac14$，由 $e>0$ 得 $e=\frac12$. 又 $F_1(-ae,0)$，$F_2(ae,0)$ 且直线 $l$ 的方程为 $ex-y+a=0$. 记 由点关于直线的对称公式，点 $F_1$ 的对称点为 因此 $PF_2=\frac{2a}{1+e^2}\sqrt{4e^2+(1-e^2)^2}=2a$，$F_1F_2=2ae$. 三角形 $PF_1F_2$ 的周长为 代入 $e=\frac12$ 和周长为 $6$，得 所以 又 $a^2=\frac{5(3-\sqrt5)}{2}$，$b^2=a^2(1-e^2)=\frac{15(3-\sqrt5)}{8}$. 故椭圆 $C$ 的方程为 \item 因为 $0<e<1$，所以 $PF_1<PF_2$，且 $PF_2=2a>2ae=F_1F_2$. 因而等腰三角形只能满足 $PF_1=F_1F_2$，即 两边均为正，平方得 即 $1-3e^2=0$. 由 $e>0$，得 $e=\frac{\sqrt3}{3}$，所以 \end{enumerate} \end{solution}