已知抛物线 $C: y^{2} = 2px$ （$p > 0$） 的焦点为 $F$，直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，与 $C$ 的交点为 $Q$，且 $|QF| = \dfrac{5}{4}|PQ|$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l'$ 与 $C$ 相交于 $M$，$N$ 两点，且 $A$，$M$，$B$，$N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 抛物线 $y^{2}=2px$ 的焦点为 $F=\left(\dfrac p2,0\right)$. 由 $y=4$ 与抛物线的交点条件，得 $Q=\left(\frac8p,4\right)$，$P=(0,4)$，$|PQ|=\frac8p$. 因此 整理得 令 $u=p^{2}$，则 $u^{2}+32u-144=0$，所以 $u=4$ 或 $u=-36$. 由 $p>0$，得 $p=2$，故 \item 由上可知 $F=(1,0)$. 直线 $y=0$ 与抛物线只有一个交点 $(0,0)$，不满足 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，故先考虑 $k\neq0$ 的非竖直直线，设过 $F$ 的直线为 $l:y=k(x-1)$，$k\neq0$. 它与抛物线的交点横坐标为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $k^{2}(x-1)^{2}=4x$，$x_{1}+x_{2}=2+\frac4{k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=1$. 两交点的中点为 $\left(1+\dfrac2{k^{2}},\dfrac2k\right)$，而弦 $AB$ 的斜率为 $k$，故其垂直平分线为 设 $A$，$B$，$M$，$N$ 在抛物线上的参数分别为其纵坐标 $y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$，$y_{4}$. 由韦达定理， $y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=\frac4k$，$y_{3}+y_{4}=-4k$ 其中第二式来自将 $x=3+\dfrac2{k^{2}}-ky$ 代入 $y^{2}=4x$.

抛物线上的点可写为 $\left(\dfrac{y^{2}}4,y\right)$. 若四点共圆，设圆方程为 $x^{2}+y^{2}+ux+vy+w=0$，代入抛物线后得到关于参数 $y$ 的四次方程，且其三次项系数为零，所以四个参数之和为零. 反过来，四个参数之和为零时，以这四个参数为根的首一四次式也无三次项，能够写成上述圆与抛物线联立所得的形式，故该条件也是充分的. 因而 $\frac4k-4k=0$，$k^{2}=1$. 所以 $k=1$ 或 $k=-1$，从而 即 $l$ 的方程为 竖直直线 $x=1$ 的垂直平分线为 $y=0$，只与抛物线有一个交点，不满足题设的两个交点条件，故不再取. \end{enumerate} \end{solution}