函数 $f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{ax}{x+a}$ （$a>1$）.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 设 $a_{1}=1$，$a_{n+1}=\ln(a_{n}+1)$，证明：$\dfrac{2}{n+2}<a_{n}\leqslant \dfrac{3}{n+2}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数定义域为 $(-1,+\infty)$. 求导得 在定义域内分母恒为正，因此只需判断 $x\left(x-(a^{2}-2a)\right)$ 的符号.

当 $1<a<2$ 时，$-1<a^{2}-2a<0$，故 且在 $(0,+\infty)$ 上递增.

当 $a=2$ 时，$a^{2}-2a=0$，有 $f'(x)\geqslant0$，且除 $x=0$ 外为正，故 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上递增.

当 $a>2$ 时，$a^{2}-2a>0$，故 且在 $(a^{2}-2a,+\infty)$ 上递增. \item 先证明对任意 $x>0$，有 左侧不等式可令 $G(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{2+x}$，则 且 $G(0)=0$. 右侧不等式可令 $H(x)=\dfrac{x(2+x)}{2(1+x)}-\ln(1+x)$，则 且 $H(0)=0$.

用归纳法证明所给不等式. 当 $n=1$ 时， $\dfrac23<a_{1}=1\leqslant1=\dfrac33$. 若 $a_n>0$，则 $a_{n+1}=\ln(1+a_n)>0$，所以归纳过程中各项均为正. 假设 由 $a_{n}>0$ 及左侧不等式， 令 $t=n+2$，则 $t\geqslant3$. 由对数不等式的右侧， 最后一个不等式等价于 $t\geqslant3$. 归纳完成，故 \end{enumerate} \end{solution}