设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，$l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM| = m|DA|$ （$m > 0$ 且 $m \neq 1$）. 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$. 是否存在 $m$，使得对任意的 $k > 0$，都有 $PQ \perp PH$？ 若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.