平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设椭圆 $E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1$，$P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = kx + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$.

(i) 求 $\frac{|OQ|}{|OP|}$ 的值； (ii) 求 $\triangle ABQ$ 面积的最大值.