已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $4^{b_1 - 1}4^{b_2 - 1}4^{b_3 - 1}\cdots 4^{b_n - 1} = (a_n + 1)^{b_n}$（$n \in \mathbf{N}^*$），证明 $\{b_n\}$ 是等差数列； (3) 证明：$\frac{n}{2} - \frac{1}{3} < \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_{n+1}} < \frac{n}{2}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.