已知椭圆 $C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为 $A(1,0)$，过 $C_1$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 $1$.

(1) 求椭圆 $C_1$ 的方程； (2) 设点 $P$ 在抛物线 $C_2:y=x^2+h$（$h\in\mathbf{R}$）上，$C_2$ 在点 $P$ 处的切线与 $C_1$ 交于点 $M$，$N$. 当线段 $AP$ 的中点与 $MN$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值.