已知函数 $f(x)=x^2+\frac{2}{x}+a\ln x$（$x>0$），$f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$. 对任意两个不相等的正数 $x_1$，$x_2$，证明：

(1) 当 $a\leqslant 0$ 时，$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$； (2) 当 $a\leqslant 4$ 时，$|f'(x_1)-f'(x_2)|>|x_1-x_2|$.