已知 $a$ 是给定的实常数，设函数 $f(x) = (x - a)^2 (x + b)\mathrm{e}^x$，$b \in \mathbf{R}$，$x = a$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点.

(1) 求 $b$ 的取值范围； (2) 设 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$ 是 $f(x)$ 的 3 个极值点. 问是否存在实数 $b$，可找到 $x_{4} \in \mathbf{R}$，使得 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$ 的某种排列 $x_{i_{1}}$，$x_{i_{2}}$，$x_{i_{3}}$，$x_{i_{4}}$（其中 $\{i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\} = \{1, 2, 3, 4\}$）依次成等差数列？若存在，求所有的 $b$ 及相应的 $x_4$；若不存在，说明理由.

\begin{solution} 令 求导得 且 所以 $g$ 有两个不等实根.

\begin{enumerate} \item 在 $x=a$ 处，若 $g(a)>0$，则 $f'$ 在该点左负右正，$x=a$ 是极小值点；若 $g(a)=0$，则 $x-a$ 至少是二重因子，导数在该点不变号，也不是极值点. 因此必须 $g(a)<0$. 计算得 故

\item 记 $g$ 的两个根为 $u<v$. 由 $g(a)<0$ 知 $u<a<v$，所以三个极值点按大小规律为 $u$，$a$，$v$. 令 $p=a-u>0$，$q=v-a>0$，$s=a+b$. 将 $g(a+t)$ 展开，得 因此 $-pq=2s$，$-p+q=-(s+3)$ 即

四个数形成等差数列时，按四项从小到大排列，$u$，$a$，$v$ 只能占据以下三种位置类型.

第一种，$u$，$a$，$v$ 是连续的前三项或连续的后三项. 此时 $p=q$，由（1）得 $p^2=6$，所以 $s=-\frac{pq}{2}=-3$，$b=-a-3$. 缺少的第四项为

第二种，排列为 $u$，$a$，$x_4$，$v$. 此时 $q=2p$，代入（1）得 $p=p^2-3$，$p=\frac{1+\sqrt{13}}2$. 于是 $b=-a+s=-a-p^2=-a-\frac{7+\sqrt{13}}2$，$x_4=a+p=a+\frac{1+\sqrt{13}}2$.

第三种，排列为 $u$，$x_4$，$a$，$v$. 此时 $p=2q$，代入（1）得 $-q=q^2-3$，$q=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$. 于是 $b=-a-q^2=-a-\frac{7-\sqrt{13}}2$，$x_4=a-q=a+\frac{1-\sqrt{13}}2$.

以上各值均满足 $b<-a$，且三种位置类型已经涵盖 $u$，$a$，$v$ 在四项等差数列中的全部可能位置. 因此确实存在，所有结果为 \end{enumerate} \end{solution}