如图，设 $P$ 为抛物线 $C_1: x^2 = y$ 上的动点，过点 $P$ 做圆 $C_2: x^2 + (y + 3)^2 = 1$ 的两条切线，交直线 $l: y = -3$ 于 $A$，$B$ 两点.

(1) 求 $C_{2}$ 的圆心 $M$ 到抛物线 $C_{1}$ 准线的距离. (2) 是否存在点 $P$，使线段 $AB$ 被抛物线 $C_1$ 在点 $P$ 处的切线平分，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.