如图，已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$（$a > 0$）的右焦点为 $F$. 点 $A$，$B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$AF \perp x$ 轴，$AB \perp OB$，$BF \parallel OA$（$O$ 为坐标原点）.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 过 $C$ 上一点 $P(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）的直线 $l: \frac{x_0 x}{a^2} - y_0 y = 1$，与直线 $AF$ 相交于点 $M$，与直线 $x = \frac{3}{2}$ 相交于点 $N$. 证明：当点 $P$ 在 $C$ 上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$ 恒为定值，并求此定值.