已知函数 $f(x) = \ln (1 + x) - x$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 记 $f(x)$ 在区间 $[0,n]$（$n \in \mathbf{N}^*$）上的最小值为 $b_n$，令 $a_n = \ln(1 + n) - b_n$.

(i) 如果对一切 $n$，不等式 $\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围； (ii) 求证： $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1$.