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22
计数原理与组合数学
★★★★★
已知
f
0
(
x
)
=
x
n
f_{0}(x) = x^{n}
f
0
(
x
)
=
x
n
，
f
k
(
x
)
=
f
k
−
1
′
(
x
)
f
k
−
1
(
1
)
f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}
f
k
(
x
)
=
f
k
−
1
(
1
)
f
k
−
1
′
(
x
)
，其中
k
⩽
n
k \leqslant n
k
⩽
n
（
n
n
n
，
k
∈
N
+
k\in\mathbf{N}_{+}
k
∈
N
+
）. 设
F
(
x
)
=
C
n
0
f
0
(
x
2
)
+
C
n
1
f
1
(
x
2
)
+
⋯
+
C
n
n
f
n
(
x
2
)
F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})
F
(
x
)
=
C
n
0
f
0
(
x
2
)
+
C
n
1
f
1
(
x
2
)
+
⋯
+
C
n
n
f
n
(
x
2
)
，
x
∈
[
−
1
,
1
]
x \in [-1,1]
x
∈
[
−
1
,
1
]
.
(1) 写出
f
k
(
1
)
f_k(1)
f
k
(
1
)
； (2) 证明：对任意的
x
1
x_{1}
x
1
，
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
x_{2}\in[-1,1]
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
，恒有
∣
F
(
x
1
)
−
F
(
x
2
)
∣
⩽
2
n
−
1
(
n
+
2
)
−
n
−
1
|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1
∣
F
(
x
1
)
−
F
(
x
2
)
∣
⩽
2
n
−
1
(
n
+
2
)
−
n
−
1
.
2006 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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