设实数 $c > 0$，整数 $p > 1$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 证明：当 $x > -1$ 且 $x \neq 0$ 时，$(1 + x)^p > 1 + px$； (2) 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 > c^{\frac{1}{p}}$，$a_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}$，证明：$a_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}$.