已知函数 $f(x) = x^3 - x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$，且存在 $x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$，使 $f(x_0) = x_0$.

(1) 证明： $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的单调增函数； (2) 设 $x_{1} = 0$，$x_{n + 1} = f(x_{n})$，$y_{1} = \frac{1}{2}$，$y_{n + 1} = f(y_{n})$，其中 $n = 1$，$2$，$\dots$，证明：$x_{n} < x_{n + 1} < x_0 < y_{n + 1} < y_{n}$； (3) 证明： $\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{y_{n}-x_{n}}<\frac{1}{2}$.